Quadrans vetus

Auf der Rückseite von Astrolabien, dem Dorsum befindet sich oftmals eine Skala zur Bestimmung der Temporalstunden, genannt Stundenquadrant oder quadrans vetus .

 

 Zur Bestimmung der Temporalstunde muss die Mittagshöhe H der Sonne an diesem Tag bekannt sein, dann kann aus der momentanen Sonnenhöhe (näherungsweise) die aktuelle Temporalstunde bestimmt werden. 

 

Gliederung

1.   Konstruktion der Stundenkreise

2.   Nachweis der Näherungsformel

3.   Berechnung des Fehlers

 

 1.   Konstruktion der Stundenkreise

 

 

2.   Nachweis der Näherungsformel

Statt nach der exakten Formel werden die Temporalstunden mit der Näherung  
sin  t  = sin h / sin H bestimmt.

Dabei ist

t die Temporalstunde

H die Mittagshöhe und

h die momentane Sonnenhöhe

 

 

3.   Berechnung des Fehlers

 Es folgt eine Fehlerdiskussion der Näherungsformel in Abhängigkeit von der geographischen Breite j, der Sonnendeklination d und der Zeit t.

 

Die betrachtete Näherungsformel für die Ungleichen Stunden lautet in moderner Schreibweise:

  (*)    t  = 1/15 arcsin { sin h / sin H }         oder                      sin t = sin h/ sin H

 

Dazu einige Vorüberlegungen:

Die Gleichen Stunden t berechnet man exakt aus der Gleichung:

(I)               sin h = sin d * sin j + cosd* cos j sin t

 und die Länge des halben Tages  t ( h = 0 ) zu

 (I)*       cos t  = - tan d* tan j

 

Damit ergibt  sich die Mittagshöhe H für t = 0 aus (I) zu

 (II) Sin H = sin d * sin j + cosd* cos j

 

Zur Zeit der Äquinoktien (d = 0 !) gilt:

(I)*        sin h =  cos j sin t

(II)*       sin H = cos j

Setzt man beide Gleichung in die Näherungsformel ein,  erhält man wieder

sin t = sin h/ sin H

d. h. genau den exakten Wert.

Zur Zeit der Äquinoktien (d = 0) ist die Näherungsformel für jede geographische Breite exakt richtig.

Um die Mittagszeit (t  = 900 ) gilt mit h = H die Näherungsformel für alle Bereiche ebenfalls exakt Zur Bestimmung der Ungleichen Stunde berechnet man die Länge des ganzen Tages t aus

cos (t/2) = - tand * tanj

z.B. für  j = 300  , d = 23,50     t/2 = 104,540

erhält man  t = 13,94 h = 836min d.h. für   eine Temporalstunde th = 69,7 min

Zu dieser Zeit soll der Stundenquadrant 5 h oder 7 h anzeigen.

Dazu bestimmt man zuerst für eine vorgegebene Zeit th die exakte Höhe der Sonne h aus (I) und die entsprechende Mittagshöhe H aus (II). Mit der Näherungsformel (*) erhält man die am Instrument abgelesene Zeit und kann somit die Abweichung bestimmen.

Mit

j = 300  , d = 23,50  und  th  = 69,7 min die Höhe h = 73,20

 Mit der Näherungsformel erhält man für die 1. Ungleiche Stunde  t = 5 , d.h. t = 750 die Sonnenhöhe hh = 73,70.

Jetzt kann man in Gleichen Minuten den Fehler mit (I) zu 2,5 Minuten ausrechnen d.h. die Sonne benötigt noch 2,5 min um die exakte Höhe zu erreichen. 

 

 

 Für  f = 480   und  d = 23,5   erhält man

 

 Für  f = 480   und  d =  - 23,50   erhält man

 

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